Интервью – Юрий Фарков: «Математическое мышление формируется именно в момент поиска и устранения ошибок»
Поделитесь с друзьями
Как в Институте общественных наук изучают математику? Отличный вопрос! На программах кластера, объединяющего направления «Политология» и «Публичная политика и социальные науки», занимаются «гуманитарной математикой» – адаптированным, облегчённым курсом высшей математики, разработанным специально для студентов-гуманитариев. Филологи, историки и студенты программы «Креативные индустрии и цифровые проекты» высшую математику не изучают, ограничиваясь курсом «Информационные технологии в гуманитарных науках». На всех остальных программах, реализуемых ИОН, математика осваивается в 1 семестре.
Автор учебно-справочного пособия «Математика для первокурсников», выпущенного издательством Президентской академии «Дело», доктор физико-математических наук, профессор Юрий Фарков рассказал, зачем большинству гуманитариев нужна математика, как создавалась его книга и что помогает преодолеть страх перед сложными задачами на вычисления.
– Для чего студентам гуманитарных направлений нужна математика?
– Математика стала неотъемлемой составной частью высшего профессионального образования будущих психологов, социологов, специалистов по рекламе и менеджменту. Обучение математике студентов-гуманитариев преследует три главных цели. Во-первых, общенаучную, представляющую математику как важнейшую форму научного познания и необходимый элемент мировой культуры. Во-вторых, это развитие логического мышления, столь значимого для любого современного специалиста. Наконец, это профессиональная цель, где математика выступает в качестве инструмента работы и исследований конкретного специалиста.
Существуют разнообразные подходы к обучению математике студентов гуманитарных специальностей – от самых упрощённых курсов, состоящих из разрозненных рассказов или «сказок» о математике, до весьма серьёзных курсов, преподаваемых гуманитариям так же, как и будущим математикам-профессионалам.
В настоящее время в связи со стремительным развитием ИИ происходит увеличение математической составляющей по всем без исключения направлениям обучения. На первый план выходит развитие концептуального (математически грамотного), алгоритмического и критического мышления с практико-ориентированным содержанием. Акцент должен сместиться с вычислений на способность формулировать проблемы на языке, понятном ИИ, и умение интерпретировать результаты. При этом в качестве инструментов обучения целесообразно активно применять язык Python и систему компьютерной алгебры Mathematica.
– Многие первокурсники опасаются, что высшая математика является слишком сложной для них. Откуда берётся этот страх и что помогает его преодолеть?
– Страх перед университетской математикой – распространённое явление, которое специалисты называют «математической тревожностью». Этот страх рождается из-за резкого изменения характера обучения при переходе из школы в вуз, а преодолеть его помогают системный подход к учёбе и смена психологических установок. Особенно часто он возникает у студентов, которым не повезло с учителем математики в школе.
Вот несколько советов студентам, которые могут понизить или преодолеть «математическую тревожность».
Правило 24 часов. Разбирайте конспект лекции в тот же день, когда она прошла. Намного проще потратить 30 минут по горячим следам, чем пытаться понять свои записи накануне контрольной работы или перед экзаменом.
Визуализация и альтернативные источники. Применяйте графические калькуляторы, такие как Desmos, и другие средства визуализации математической информации. Построение сетевых графов (например, связей между персонажами романа) демонстрирует математическую структуру произведения без перегрузки формулами. Пользуйтесь качественными научно-популярными источниками, среди которых особенно популярны проект «Математические этюды» лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института РАН и проект Алексея Савватеева «Маткульт-привет».
Дробление задач. Не пытайтесь решить всю домашнюю работу сразу. Разбейте её на микрозадачи. Выпишите на отдельный лист определения понятий из формулировки задачи и приведите к ним иллюстрирующие примеры и рисунки. Решённая простая задача улучшает настроение, даёт уверенность, укрепляет веру в свои силы и облегчает выполнение более сложных заданий.
Укрепление мотивации. Попросите ИИ привести примеры применений математики в выбранной вами сфере деятельности и попробуйте при изучении каждой темы двигаться «от задачи к инструменту». Например, вместо абстрактного изучения операций над матрицами ознакомьтесь с тем, как матричное умножение помогает находить в интернете похожие по смыслу статьи.
Командная работа. Организуйте учебные группы с однокурсниками. Объясняя материал другу, вы глубже понимаете его сами.
Легализация ошибок. Помните, что ошибаться в математике — это нормальный рабочий процесс, а не признак отсутствия способностей. Математическое мышление формируется именно в момент поиска и устранения ошибок.
Установка на рост. Математические способности — это не врождённый дар, а навык, который прокачивается регулярными тренировками, как мышцы в спортзале.
– Учебных пособий по математике сегодня немало. Чего вам не хватало в существующих изданиях и почему вы решили написать собственное?
– Многие изданные в СССР учебники по математике до сих пор переиздаются и активно используются в математическом и инженерном образовании. Однако эти учебники не рассчитаны на будущих социологов или специалистов по рекламе. На русском языке издано совсем немного учебной литературы по математике для студентов гуманитарных вузов. Кроме того, классические учебники не учитывают особенности восприятия учебной информации современными студентами.
Особенно остро эти проблемы проявились в последние годы в связи с активным проникновением в образовательный процесс компьютерных средств обучения и систем искусственного интеллекта. Решение написать учебно-справочное пособие возникло в связи с желанием рассказать о моём более чем десятилетнем опыте преподавания математики первокурсникам РАНХиГС.
– Как создавалась ваша книга и какие темы в ней отражены?
– Учебно-справочное пособие написано на основе материалов, которые выдавались студентам в электронном виде к практическим занятиям по следующим темам: 1) числа, множества, функции и бинарные отношения; 2) комбинаторика; 3) графы; 4) производная и интеграл; 5) вероятности событий и случайные величины; 6) элементы матричного анализа; 7) элементы математической логики; 8) булевы функции; 9) численные методы решения нелинейных уравнений; 10) итерационные методы поиска экстремумов функций.
Все эти темы встречаются в многочисленных приложениях математики, в том числе в гуманитарных сферах деятельности, и могут быть проиллюстрированы обучающими кейсами.
Начинать изучать «Математику для первокурсников» лучше всего с разделов «Множества натуральных, целых и действительных чисел», «Операции над множествами» и «Логика высказываний».
В качестве приложения к разделу о конечномерных линейных пространствах впервые в российской учебной литературе даны начальные сведения о жёстких фреймах – полных системах функций, применяемых в таких областях, как анализ сигналов, обработка изображений, кодирование и квантовая теория информации. Предметный указатель содержит полный перечень математических понятий, определения которых даны в учебно-справочном пособии. Некоторые из этих понятий (такие как устойчивость матрицы, фрейм Мерседес-Бенц и др.) ранее не встречались в учебной литературе по математике для первокурсников.
Список литературы содержит ровно 100 наименований и наряду с учебниками и сборниками задач включает современные научно-популярные издания и книги по истории математики. Среди интернет-источников указаны электронные математические библиотеки, сайты журналов о математическом образовании, а также современные образовательные каналы с различными математическими сюжетами, визуализациями многих встречающихся первокурсникам понятий и увлекательными видеороликами.
– На какой уровень подготовки рассчитана книга? Подойдёт ли она студенту, который многое забыл из школьной программы, и как ему лучше выстроить работу с пособием?
– Книга будет полезна студенту любого уровня подготовки, но она является учебно-справочным пособием по изучаемым на первом курсе математическим понятиям и не предназначена для ликвидации пробелов школьного образования. Однако восстановить школьную математику во время учёбы в вузе – абсолютно реальная задача! Вот несколько советов.
Идите от простого к сложному. Математика – это иерархическая структура. Если вы плохо помните дроби или раскрытие скобок, вы не сможете понять логарифмы или производные.
Сделайте упор на практику. Чтение теории даёт иллюзию понимания. Закрепляйте каждую тему решением нескольких разноплановых задач. Формулировки задач по любой теме из школьных учебников быстро генерирует ИИ, но предлагаемые им решения требуют тщательной проверки.
Изучайте логику, а не зубрите формулы. Пытайтесь понять, почему формула работает именно так. Визуализируйте графики функций (например, в Desmos) – это сильно развивает интуицию.
Ищите бесплатные интерактивные курсы, например «Математика. Подготовка к ЕГЭ» (базовый или профильный уровень) или «Основы математики». Мировым лидером по изучению математики с нуля является Khan Academy – есть русскоязычная версия сайта: Академия Хана.
– Какую ещё литературу вы рекомендуете первокурсникам на первых занятиях по математике?
– Студентам Института общественных наук РАНХиГС в начале учебного года я высылаю брошюру В.А. Успенского «Математическое и гуманитарное: преодоление барьера». Автор этой брошюры – известный математик, лингвист и популяризатор науки Владимир Андреевич Успенский – сравнивает математику с искусством в её способе познания мира.
По его мнению, «главная цель обучения гуманитариев математике – психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении – нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления».
Помимо дисциплины мышления Успенский называет ещё три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия: 1) умение отличать истину от лжи; 2) умение отличать смысл от бессмыслицы; 3) умение отличать понятное от непонятного. По его мнению, предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.
Студентам интересна также книга Ю.И. Манина «Математика как метафора», в которой собраны очерки по истории и философии математики, теории культуры и языка, а также отрывки из воспоминаний, стихи и стихотворные переводы.
Всем первокурсникам я рекомендую книгу Барбары Оакли «Думай как математик: как решать любые задачи быстрее и эффективнее». В этой потрясающей и своевременной книге, рисующей обучение как приключение, а не как тяжёлый труд, вы найдёте много советов и приёмов, помогающих эффективно усваивать материал.
При обучении математике студентов ИОН также используется учебник Е.А. Роганова, Н.Б. Тихомирова и А.М. Шелехова «Математика и информатика для юристов», в котором для вычислений используется система компьютерной алгебры Maxima. Впрочем, в первую очередь он рассчитан на юристов – в нём показано, как применять математику в юридической практике и криминалистике, изложены основы математической статистики, описано моделирование процессов, интересующих юристов.
– Можете привести пример того, как математика помогает критически оценить результаты опроса, новости или рекламной кампании?
– Математика — это главный инструмент для разоблачения манипуляций с данными. Она помогает увидеть, что скрывается за громкими заголовками, красивыми графиками и «сенсационными» цифрами.
Пример 1. Математическая статистика требует, чтобы выборка была случайной и отражала структуру всего общества по возрасту, полу, географии. Опрос на конкретном сайте отражает мнение только посетителей данного сайта – это смещённая выборка. Если сайт имеет определённую политическую или тематическую направленность, результат будет математически неверен для всей страны.
Пример 2. Пусть онлайн-школа рекламирует свои курсы: «Средний доход наших выпускников уже через три месяца составляет 150 000 рублей» Если из 10 выпускников девять зарабатывают по 30 000 рублей, а один открыл успешный бизнес и зарабатывает 1 230 000 рублей, то среднее арифметическое как раз составит:
(9 × 30 000 + 1 230 000): 10 = 150 000 (руб.).
Реклама формально не врёт, но вводит в заблуждение. Чтобы узнать реальную картину, нужно вычислить медиану (в данном случае это 30 000 рублей — показатель, выше и ниже которого зарабатывают ровно половина студентов) или моду (самое часто встречающееся значение).
Вот три обучающих кейса по направлению обучения «Социология рекламы и медиаисследования».
Первый. А/Б-тестирование кампаний. Оценка конверсии лендинга (группа A – контрольная, группа B – с новым баннером) с помощью критерия хи-квадрат для проверки гипотезы о значимом росте продаж.
Второй кейс. Сегментация аудитории. Применение кластерного анализа (метод k-средних) для разделения покупателей на сегменты по частоте покупок и среднему чеку.
Третий кейс. Оценка эффективности медиаканала. Использование логистической регрессии для расчёта вероятности того, что пользователь совершит покупку после просмотра определённого рекламного ролика.
Научно-популярное описание этих кейсов доступно первокурсникам с использованием ИИ и интернет-источников. Тематика кейсов может быть расширена руководителями образовательных программ и составителями рабочих программ дисциплин по каждому направлению обучения.
– Где читатели могут приобрести «Математику для первокурсников»?
– Книгу можно приобрести в магазинах издательского дома «Дело», расположенных в корпусах 1 и 5 Академии. Если все поступившие в магазин экземпляры распроданы, следует обратиться к продавцу с просьбой получить в издательстве дополнительные экземпляры.
